Miért téved az intuíciónk?6 perc

flickr.com / Omer Wazir

Ha találomra kiválaszt 23 embert az ismerősei közül, több mint 50% az esélye, hogy lesz közöttük kettő, akik egy napon születtek. Ha 57-et választ, akkor már több mint 99%! Ez a jelenség az ún. Születésnap-paradoxon.

„Képzeljünk el egy nappalit, ahová folyamatosan mennek be emberek, egyre növelve a bent tartózkodók számát. Legkevesebb hány embernek kell a szobában lennie ahhoz, hogy legalább 50% legyen az esélye, hogy közülük néhányan (akár csak ketten is) egy napon születtek?” A Születésnap-paradoxon kiinduló kérdése egészen ártatlannak tűnik, ami azonban ezután következik, korántsem magától értetődő: a válasz mindössze 23 ember!

Hihetetlen? Akkor számoljunk!

A Születésnap-paradoxon egyik legkedvesebb tulajdonsága, hogy könnyedén utána lehet számolni – ezt most is bátran megtehetjük. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az év 365 napból áll, és a születésnapok egyenlő arányban esnek minden napra. Ez a lényegen nem változtat, van viszont egy nagy előnye, történetesen hogy a valószínűség kiszámítására használhatjuk a kedvenc képletünket: P=kedvező esetek száma/összes eset száma. Hogy még inkább könnyítsünk a helyzetünkön, a valószínűséget az ellentétes esemény segítségével fogjuk kiszámolni: a 100%-ból kivonjuk annak a valószínűségét, hogy nincs két azonos születésnap n ember esetén. Így jóval egyszerűbben kapjuk meg az eredményt, mintha egyből a keresett valószínűséget próbálnánk kiszámítani.

form1

Az így kapott képlettel szempillantás alatt ki tudjuk számítani a valószínűséget akármennyi emberre. Például az n helyére 23-mat írva 50,7%-ot kapunk eredményül. És mivel a valószínűség itt lépi át az 50%-ot, így valóban 23 a válasz az eredeti kérdésre. Ha ez még kevés meglepetés egy napra, akkor keressük meg, hány embernél lépi túl a valószínűség a 99%-ot: a válasz 57 ember!

  • Mi a százalék?
A százalék a szám olyan alakja, ami az értéket századokban adja meg. Így minden 0% és 100% közötti valószínűség megfelel valamely 0 és 1 között számnak, és fordítva. A 100% például nem más, mint 1, a 0,75 pedig 75%-ot jelent.

Akkor 57 embernél már biztosan lesz egyezés?

Nem. A fenti értékek csupán valószínűségek, és nem azt jelentik, hogy valami biztosan bekövetkezik – ezt csak a 100% hivatott jelölni. Az ennél kisebb valószínűségek nem mondanak semmi kézzelfoghatót egy konkrét esetről, csak az adott kimenetel sok eset vizsgálata során várható arányát adják meg. Az 57 emberhez tartozó 99% például azt jelenti, hogy 57 találomra választott embert vizsgálva 10 000 eset közül körülbelül 9 900 esetben lesz egyező születésnap.

Ezt olvastad már?  Legjobb barátunk, az algoritmus

Az egyezés tehát 57 ember esetén sem teljesen biztos, de az esetek túlnyomó többségében így is lesz. Akit erről még nem sikerült meggyőzni, az nyugodtan futtasson le pár ezer kísérletet itt1.

Miért téved a józan paraszti ész?

A meghökkentő eredmények kulcsa az, hogy a kérdéses valószínűség meglepően gyorsan nő, mégpedig a következőképpen:

dia

Az alapvetően lineáris növekedéshez szokott intuíciónk erre nincs felkészülve, az exponenciális változást rejtő feladat lépre csalja. A szorzást, osztást készségszinten kezeli az agyunk, de a valószínűségekkel korántsem bánik ilyen jól, a variációs lehetőségek váratlanul gyors növekedését pedig pláne képtelen kezelni, és ez téves intuíciókhoz vezet minket.

Az eredmény szempontjából kulcsfontosságú, hogy nem konkrét napot, vagy embereket keresünk: bármely két ember, bármely napon egyező születésnapja elegendő. Így a 23 sem olyan kevés, mint elsőre gondolnánk, mert 23 ember között 253-féleképpen lehet kettő, akik egy napon születtek, ráadásul a variációs lehetőségek egyre gyorsabban bővülnek.

A másik oldalról nézve

A kérdést az ellentétes esemény oldaláról is megfoghatjuk: azért lesz már viszonylag kevés embernél is nagy az egyezés valószínűsége, mert kicsi az esély arra, hogy minden születésnap különböző legyen. A fenti számolást másképp írva jól látszik az összefüggés:

form2

A kivonandóban az 1-ből kiindulva egyre nagyobb számokkal osztunk, a tört értéke így egyre kisebb lesz, és egyre valószínűtlenebb, hogy minden születésnap más napra esik. Az egyezés így persze egyre valószínűbb.

A valóság néha kontraintuitív

A Születésnap-paradoxon tehát nem rejt tényleges ellentmondást, csak az elvárásaink mond annyira ellent, hogy az már logikai képtelenségnek tűnik. Valójában olyannyira igaz, hogy segítségével jóval összetettebb problémákat is sikerrel modellezhetünk, de a mindennapi élet nem várt véletlenjeire is választ ad. A Születésnap-paradoxonnal a zsebünkben például azon se csodálkozzunk, ha a ruletten előbb ismétlődik egy-két szám, mint hogy a miénken állna meg a golyó.

Forrás:
Clifford A. Pickover: The Math Book : From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. New York, Sterling Publishing Co Inc, 2009.
 
Kép: Omer Wazir / flickr.com

 
Hatala Imre
Az ELTE másodéves alkalmazott matematikus hallgatója vagyok. A matematika elméleti és alkalmazott területei egyaránt foglalkoztatnak, de más tudományok irányába is nyitott az érdeklődésem.
  1. A kísérletekben az emberek száma 1 és 50 közötti állítható, az ismétlődő születésnapokat piros kiemelés jelzi.

Szólj hozzá elsőként!

Válasz írása

Az email címed nem lesz látható.